2 预备知识 Preliminaries

In this chapter we give a condensed summary of the relevant mathematical concepts and notation.

在本章中，我们会简明扼要的给出（这篇论文）相关的数学定义和符号表示。

In particular, we summarize the representation of 3D poses as elements of Lie-Algebras (Sec. 2.1),

尤其在（2.1小节），我们会总结一下，三维空间位姿（如何）用李代数（ Lie-Algebras）的方式表达。

derive direct image alignment as weighted least-squares minimization on Lie-manifolds (Sec. 2.2),

然后（2.2小节）推导出图像直接配准法的实质，即：李群—流体流形（Lie-manifolds）上的加权最小二乘的最小化(weighted least-squares minimization)（优化问题）

and briefly introduce propagation of uncertainty (Sec. 2.3).

并在（2.3小节）扼要说明不确定性（协方差矩阵或叫信息矩阵，译者额外添加备注）是如何传播的。（感谢范帝楷同学指点）

数学符号定义 Notation.

We denote matrices by bold, capital letters $(\textbf{R})$ and vectors as bold, lower case letters ( $\mathbf{\xi}$ ). (note that: Katex doesn't support bold greek letters)

“矩阵” 用粗体，大写字母表示，（比如：$\textbf{R}$）， ”向量” 用粗体， 小写字母表示（比如： $\mathbf{\xi}$ ）。

The n’th row of a matrix is denoted by $\begin{bmatrix}\cdot\end{bmatrix}_{n}$.

矩阵的第n行用$\begin{bmatrix}\cdot\end{bmatrix}_{n}$来表示。（这个表达形式在3.5小节的公式18. 19中出现，译者额外添加备注）

Images $I : \mathit{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}$

the per-pixel inverse depth map $D : \mathit{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$

and the inverse depth variance map $V : \mathit{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ are written as functions,

where $\mathit{\Omega} \subset \mathbb{R}^{2}$ is the set of normalized pixel coordinates, i.e., they include the intrinsic camera calibration.

论文中提及的若干概念：

• 图像 $I$ （Image），
• （像素级别的）逆深度图 $D$ （简称逆深度图，per-pixel inverse depth map），
• 逆深度方差 $V$ （inverse depth variance map），

我们用数学映射关系的函数表达如下：

• 图像 $I : \mathit{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}$ ，（ $I:$ 从图像向一个实数的映射）
• 逆深度图 $D : \mathit{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ （ $D:$ 逆深度图到正实数的映射）
• 逆深度方差 $V : \mathit{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ （ $V:$ 逆深度方差到正实数的映射）

其中： $\mathit{\Omega} \subset \mathbb{R}^{2}$ ， $\mathit{\Omega}$ 是归一化（normalized）的像素（二维）坐标点集合，即：包含相机内参（intrinsic）其考虑了相机内参（intrinsic）。(译者：谢谢蔡育展老师指点)

Throughout the paper we use $d$ to denote the inverse of the depth $z$ of a point, i.e., $d=z^{-1}$.

在整篇论文中，三维空间中某一点的深度表示为 $z$ , 它的逆深度用 $d$ 表示，两者的关系即： $d=z^{-1}$ 。